七下尖子生培优系列 ——相交线平行线(15)

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【试题】已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．

（1）如图1，若∠E=80°，求∠BFD的度数．

（2）如图2中，∠ABM=1/3∠ABF，∠CDM=1/3∠CDF，写出∠M与∠E之间的数量关系并证明你的结论．

（3）若∠ABM=1/n∠ABF，∠CDM=1/n∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示写出∠M=　　．

【解析】

（1）首先先求出∠ABE+∠CDE的度数，方法均有4种，之前文章中已有类似的文章（如：七下尖子生培优系列 ——相交线平行线(11)），下面仅提供一种解法：如下图示，过E点作EG∥CD，因AB∥CD，所以AB∥EG∥CD，得到∠ABE+∠2＝180⁰，∠CDE+∠1＝180⁰，从而∠ABE+(∠1+∠2)+ ∠CDE＝360⁰，而∠BED＝∠1+∠2＝80⁰，所以∠ABE+∠CDE＝280⁰.

      再求∠3+∠4的度数，因BF和DF分别平分∠ABE和∠CDE，所以有∠3+∠4＝0.5∠ABE+0.5∠CDE＝0.5（∠ABE+∠CDE）＝140⁰.

      类似上述思路，可求得∠BFD＝∠5+∠6＝∠3+∠4＝140⁰.如下图示：

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（2）如下图示：

类似前面分析，可得到：

∠ABE+∠CDE＝360⁰－∠E，

∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE

　　　　　＝0.5（∠ABE+∠CDE）

                 ＝…＝180⁰－0.5∠E，

进一步，得到：

∠3+∠4＝1/3∠ABF+1/3∠CDF

           ＝1/3(∠ABF+∠CDF)

           ＝1/3（180⁰－0.5∠E）

           ＝60⁰－1/6∠E.

得到∠BMD＝∠7+∠8

　　　　　＝60⁰－1/6∠E.

即6∠BMD+∠E＝360⁰.

（3）与（2）题类似，如下图示：

类似前面分析，可得到：

∠ABE+∠CDE＝360⁰－∠E，

∠ABF+∠CDF＝0.5∠ABE+0.5∠CDE

　　　　　＝0.5（∠ABE+∠CDE）

                 ＝…＝180⁰－0.5∠E，

进一步，得到：

∠3+∠4＝1/n∠ABF+1/n∠CDF

           ＝1/n(∠ABF+∠CDF)

           ＝1/n（180⁰－0.5m⁰）

           ＝180⁰/n－m⁰/(2n).

得到∠BMD＝∠7+∠8

　　　　  ＝180⁰/n－m⁰/(2n).

即∠BMD+∠E＝(360⁰－m⁰)/(2n).

【点评】本题主要考查了平行线的性质和判定的综合应用，关键在于“如何构造”三线八角“．

【拓展】已知AB∥CD，∠ABE与∠CDE两个角的角平分线相交于点F．若∠ABM=1/n∠ABF，∠CDM=1/n∠CDF，设∠E=m°，直接用含有n，m°的代数式表示，写出∠M=　　．

【提示】解法类似，m⁰/(2n).

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